294

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

цесс деления, подробно излагаемый в школьных учебниках алгебры,

показывает, что всегда существует два таких многочлена Q(x)

и R (х), что тождественно

(4)

причём степень многочлена R (х) (остатка) меньше степени много-

члена В (х) (делителя). Многочлены Q (х) (частное) и R(x) (оста-

ток) при этом определены однозначно. В самом деле, если наряду

с (4) мы имеем другое соотношение того же вида, например

где степень R (х) также ниже степени В (х), то тождественно

откуда

Степень многочлена, стоящего в правой части этого равенства, ниже

степени [З (х); для левой части это, очевидно, возможно лишь при

условии, что тождественно Q' Q(x), вследствие чего и R '

— R (х). Коэффициенты многочленов Q(x) и К) (х) получаются из

коэффициентов А (х) и В (х) рациональными операциями и будут

поэтому также рациональными числами.

В дальнейшем мы вообще будем понимать равенство двух много-

членов как попарное равенство всех коэффициентов при одинаковых

степенях х; в частности, Р (х)==() означает, что все коэффициенты

многочлена Р (х) равны нулю.

Если в соотношении (4) R т. е. если А (х) может быть

представлено в виде В (х) Q(x), то говорят, что многочлен А (х)

дели т ся (без остатка) на многочлен В (х). Таким образом, дели-

мость в нашей области определяется в точности так же, как в области

целых чисел. Если г— любое рациональное число, отличное от нуля,

а Р (х)— многочлен с рациональными коэффициентами, то таким же

Соотношение

будет и многочлен

показывает, что любой многочлен А (х) делится на любое рацио-

нальное число r (кроме нуля) и на любой многочлен вида

Таким образом, в нашей теории делимости любое рациональное

число играет роль единицы. Естественно поэтому называть взаимно

простыли два многочлена, не имеющих других общих делителей,

кроме рациональных чисел. Далее, мы называем абсолютно простыл

(или НСПРИВООИЖЫЛ) многочлен Р не имеющий других делителей,