МЕТОД C„PABlIFH11ti

273

Это общее свойство чисел а и Ь, вытекаюнхее из их «равно-

оста точности» при делении на т, оказывается настолько важным,

что представляется целесообразным формально зафиксировать такую

равноостаточность, придавая ей особое наименование и особое обо-

значение. Принято называть числа а и Ь, даюггше одинаковые остатки

при делении на т, срав,ЧИЛЫЯН по модулю т и обозначать это так:

а (mod т).

Например, З

Сравнимость (т. е. равноостаточность) двух чисел по данному

модулю т делает их, как мы видели, в какой-то мере родствен-

ными, сходными между собою в их отношении к числу т. Отно-

шение сравнимости есть, таким образом, некое сходство, подобие

двух чисел, и установление и Использование важнейших свойств

этого родственного отношения двух чисел и составляют собою руко-

водящую идею теории сравнений. Надо только твёрдо помнить, что

понятие сравнимости всегда связано ё определенным модулем, так

что то родство или подобие двух чисел, о котором здесь идёт речь,

свойственно этим числам не самим по себе, а лишь в их отнонтении

к числу т. Два числа, сравнимые между собою по модулю т, вообще

говоря, не будут иметь друг с другом ничего общего по другому

модулю т'.

При определении сравнимости двух чисел требование равнооста-

точности может быть заменено равносильным ему, но более удоб-

ным для проверки в конкретных случаях требованием, чтобы раз-

ность двух данных чисел делилась на модуль. Так, в только что

приведённом примере нет, разумеется, надобности находить остатки

чисел З и

— 17 при делении на 5; достаточно убедиться, что раз-

ность этих- двух чисел З делится на 5.

Следующие основные теоремы показывают, что со сравнениями

можно в значительной мере оперировать, как с обычными равен-

ствами.

Т е о р е ма 1. Сравнения по одному и тому же модулю ложно

почленно складывать, вьшитать и перемножать.

Пусть

а +3 Ь (mod т),

(1)

а' b' (mod т).

Требуется доказать, что

(mod т),

Из

18

(1) вытекает:

Энциклопедия, мн.

аа' = bb' (mod 1п).

а — Ь nzq,

а' — b' —пщ',