ЛЛГОРИФ,М ЕВКЛИДЛ И ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

293

нам, что число может быть представлено как «линейная комби-

нация» чисел а и Ь, т- е. как выражение вида а.х+Ьу, где х и у—

целые числа 1, но в таком случае из равенства (2)

Ь — r,a, также может быть представлено в виде

следует, что

линейиой комбинации чисел а и Ь:

Ь — (ах 4- by) ай а (— aqx) -1- Ь ( 1 — а.).

Спускаясь снова в нашей цепи равенств, мы таким образом посте-

пенно убеждаемся в возможности выразить в виде ах+Ьу числа

, наконец, равенство (З), в котором числа 1“п_

в этом виде уже выражены, очевидно, позволит нам представить и

как линейную комбинацию чисел а и Ь. Мы приходим, таким обра-

зом, к хорошо знакомой нам из главы I теореме: наибольший общий

Делитель двух чисел всегда мажет быть представлен в виде

линейной комбинации этих чисел. В частном случае, когда числа а

и Ь взаимно просты, это даёт теорему главы I (см. стр. 258).

Мы получили, таким образом, уже третье доказательство этой

теоремы и притом такое, которое одновременно даёт кратчайший

путь к отысканию искомых чисел х и у. Когда мы ознакомимся

с элементами теории цепных дробей, мы увидим ещё более удобное

расположение операций, ведущих к отысканию этих чисел.

Из теоремы 1, как мы видели в главе 1, немедленно вытекает

теорема 2, на которой базируется доказательство фундаментальной

теоремы о единственности разложения чисел на простые множители,

а значит, и вся теорий делимости. Вместе с тем эта же теорема

служит основанием и всей теории уравнений первой степени с двумя

неизвестными.

Но значение алгорифма Евклида выхолит далеко за пределы

арифметики натуральных чисел. Не говоря уже о том, что этот

метод позволяет построить теорию делимости для целых чисел ряда

алгебраических областей, алгорифм Евклида служит наилучшей базой

для обоснования теории делимости многочленов с одной переменной

в алгебре. Этот вопрос, по своей элементарности непосредственно

примыкающий к школьному курсу алгебры, нам необходимо рас-

смотреть здесь подробно; при этом мы сможем только во многих

случаях вести изложение значительно короче, ссылаясь на почти

полную аналогию с вышеприведёнными рассуждениями.

Объектом наших действий будут теперь не числа, а многочлены

вида

р —1— + + ап_1Х +

где коэффициенты ао, щ, , ап

— рациональные числа.

Мы называем многочлен Р (х) многочленом степени п, если

ао (). Если А (х) и В (х) — два таких многочлена, причём В (х)

не есть постоянное число (т. е. многочлен, все коэффициенты кото-

рого, кроме• свободного члена, равны нулю), то элементарный про-