МЕТОД СРАВНЕНИИ

Полагая х находим:

(а) 0 (mod р);

поэтому мы имеем тождественно

Р (х — а) Q (х) (rnod р),

что и требовалось доказать.

287

Если, кроме решения (mod р), сравнение (11) имеет ещё

отличное от него решение х — Ь (mod р), то, полагая в сравнении

мы находим:

(Ь— а) Q (modp);

но не делится на а, так как Ь по условию есть решение

сравнения (1 1), отличное от а; следовательно,

Q (Ь) ЕЕ О (mod р),

т. е x==b (modp) есть решение сравнения (mod р),

а значит, в силу теоремы 6 тождественно

Q (х) (х— Ь) R (х) (mod р),

(13)

где R многочлен степени п— 2 с целыми коэффициентами.

Из (12) и (13) следует тождественно

Р (х) (х — а) (х — Ь) R (х) (mod р).

Продолжая этот процесс, мы, очевидно, приходим к следующему

общему выводу: если сравнение (11) имеет К.—п различных решений

(mod К), то имеет место тождественное сравнение

(modp),

где L (х) — многочлен степени п— К с целыми коэффициентами.

Заметим, кстати, что коэффициенты старших членов в многочленах

Р(х), Q(x), R(x) и L(x) все равны ао, ибо каждый из этих мно-

гочленов есть частное от деления предыдущего многочлена на дву-

член вида х — а- Этот результат немедленно приводит к следую-

щему важному выводу:

Т е о р е ма 7. Сравнение степени п по простому модулю не

яоэюет иметь более п решений-

В самом деле, если бы сравнение (11) имело п +1 различных

решений .XSXi (mod € isn-t- 1), то в силу только что про-

ведённого общего рассуждения мы, полагая К имели бы тож-

дественно:

(х —хп) (mod р).

что (mod р),

Полагая здесь х ==х

и пользуясь тем,

мы нашли бы:

—хп) - О (modp),

х) • • • (4+1

ао (хам