296

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

многочленов. Впрочем, и здесь наибольший общий делитель обла-

дает весьма простым максимальным свойством, которое мы должны

теперь установить, тем более, что именно этим путём мы сможем

разобраться в вопросе о еди нс т в е н н ости наибольшего общего

делителя; этот вопрос, который для целых чисел, очевидно, решается

автоматически, здесь требует, напротив, особого рассмотрения.

Прежде всего ясно, что наряду с наибольшим общим делителем

D(x) многочленов А (х) и В (х) тому же определению будет удо-

влетворять и любой многочлен вида rD (х), где г— любое отличное

от нуля рациональное число. Таким образом, любые два многочлена

имеют бесконечное множество наибольших общих делителей, отли-

чающихся друг от друга постоянными множителями; это не должно

казаться нам странным, так как мы уже знаем, что в нашей теории

все рациональные числа играют роль единицы. Отличие между двумя

такими наибольшими общими делителями в такой мере тривиально,

что мы можем считать их лишь несущественно различными. Легко

теперь убедиться, что всякий общий Делитель D' (х) „иногочленов

А (х) и В (х), существенно (т. е- не только постоянным множителем)

отличный от D Должен иметь степен, низшую, чем D (х).

В самом деле, если D (х)

— число, то D' (х) как делитель D (x)

также есть число и, значит, лишь несущественно отличается от

D (х); если же степень D(x) положительна, то частное от деления

D (x) на D' (х) в силу их существенного различия должно иметь

положительную степень, и следовательно, степень D'(x) ниже сте-

пени D (х), что и надо было установить. Можно, таким образом,

сказать, что наибольший Делитель двух яногоиленов опре-

Делён однозначно с точностью до произвольного постоянного рацио-

нального лножителя.

Алгорифм Евклида, позволяющий, таким образом, найти наиболь-

шип общий делитель двух многочленов, вместе с тем и здесь, как

в теории целых чисел, может служить базой для построения всеи

теории делимости. Прежде всего мы можем .здесь в точной анало-

гии с тем, как мы это сделали выше для целых чисел, показать,

что наибольший общий делитель двух многочленов может быть

представлен в виде линейной комбинации этих многочленов; коэф-

фициентами этой комбинации служат, разумеется, также некоторые

многочлены с рациональными коэффициентами. Из этого, в част-

ности, вытекает предложение, аналогичное теореме 1 главы 1: если

лногозлены А (х) и В (х) взаимно просты, то существуют такие

янточлены Х (х) и У (х), что

Это, прежде всего, показывает, что основная задача неопреде-

ленного анализа первой степени с двумя неизвестными для много-

членов с рациональными коэффициентами решается в том же смысле,

как и для целых чисел. Далее, следуя в точности по пути, изложен-