МЕТОЛ СРАВНЕНИЙ

277

видим, что в этом вопросе, как и во многих других, сравнения по

простому модулю ведут себя в точности аналогично равенствам-

Что касается сравнений по составному модулю, то здесь мы, напро-

тив, наблюдаем существенно иные закономерности, нежели в теории

равенств.

S 6. Классификация чисел по данному модулю

Мы назвали два числа сравнимыми по модулю т, если они дают

одинаковые остатки при делении на т; отсюда непосредственно

следует, что если каждое из двух чисел а и Ь сравнимо по•модулю т

с одним и тем же числом с, то и а (mod т). А это обстоя-

тельство позволяет нам в свою очрредь объединить все числа, сра-

внимые с данным числом а (а зуачит, и сравнимые между собой)

по модулю т, в один кл а с с. Таким образом, все целые числа распа-

лаются на классы по модулю т; все числа одного и того же

класса сравнимы между собою по модулю т, но два числа разных

классов никогда по модулю 112 не сравнимы друг с другом.

Как число и взаимоотношения классов, так и внутренняя струк-

тура их очень легко обозримы- Все числа одного и того же класса

дают при делении на модуль т один и тот же остаток. Но остат-

ками при делении на т могут быть только следующие т чисел:

Следовательно, число классов по модулю т равно т. Класс, харак-

теризуемый данным остатком г (0 г— т— 1), образуют числа

вида mx-l-r, где х— любое целое число; очевидно, эти числа обра-

зуют бесконечную в обоих направлениях арифметическую -прогрес-

сию с разностью т. Таким образом, разбиение множества всех

целых чисел на классы по модулю т есть просто разбиение этого

множества на т арифметических прогрессий с разностью т.

Если мы произвольным образом выберем по одному числу в каж-

дом из классов, то мы будем иметь группу из т чисел, характери-

зуемую тем, что никакие два числа этой группы не сравнимы между

собою по модулю т и что, с другой стороны, любое целое число

сравнимо по модулю т с одним из чисел выбранной группы. Такую

группу чисел называют полной системой вычетов по модулю т.

Очевидно, что таких полных систем вычетов по любому модулю

существует бесчисленное множество. Так, полной системой вычетов

но модулю З может служить любая из троек чисел (0, 1, 2),

5), и бесчисленное множество других.

(10, 11, 12), (—4, 6,—

Так как во многих вопросах теории делимости числа одного и

того же класса могут, как мы знаем, заменять друг друга, то

в вопросах подобного рода обычно бывает безразлично, какую из

бесчисленного множества полных систем вычетов мы изберём для

нашего рассуждения; это обстоятельство создаёт такой элемент про-