12 —

I

ВИЦ, имеющихся у Петра, если монеты и пуговицы можно
разложить на столе в два ряда так, чтобы против каждой
монеты лежала бы пуговица и, обратно, против каждой
пуговицы лежала бы монета. Точно так же мы скажем, что
число чернильниц равно числу учеников в классе, если
возможно сделать так, чтобы каждый ученик имел черниль¬
ницу и притом только одну, а каждая чернильница обслужи¬
вала бы ученика и притом также лишь одного.

Если же после распределения чернильниц между учени¬
ками мы увидим, что у нас осталось несколько лишних
чернильниц, то мы скажем, что число чернильниц превышает
число учеников, что первое больше второго и, обратно, что
число учеников меньше числа чернильниц.

Мы принимаем за аксиому (то-есть за очевидную истину),
что, если даны два числа, то мы всегда встречаемся только
с одним из трех следующих случаев: числа эти или равны *
между собой, или первое из них больше второго, или же,
наоборот, второе больше первого. Так, например, число
чернильниц может быть равно числу учеников; оно может
быть больше числа учеников или, наоборот, число учени¬
ков может быть больше числа чернильниц. Но в каждом
отдельном случае, когда распределение чернильниц по одной
между учениками показывает нам, что чернильниц, напри¬
мер, не хватает,—никакое иное распределение их не сде¬
лает числа чернильниц ни равным числу учеников, ни
большим его.—Это аксиома числа, смысл которой необходимо
хорошенько усвоить.

Зная эту аксиому, легко показать, что в* десятичной
системе нумерации два равные числа всегда изображаются
одинаковыми знаками, а два неравные числа всегда изобра- -
жаются различными знаками.

В самом деле, чтобы определить каждое из двух равных
чисел, мы должны прежде всего сопоставить единицы
одного из этих чисел с нарисованными штрихами, как мы
уже делали это выше; а так как данные числа равны между
собой, то полученная табличка штрихов будет соответство¬
вать и второму из данных чисел. Так, например, если у
каждого ученика в классе имеется чернильница, то резуль¬
тат счета будет одинаков, определим ли мы число учеников
или же число чернильниц. По определению равенства, число