ящик, в который мы последовательно высыпаем содержимое
мешечков. Очевидно, что число шариков в ящике будет
всегда одно и то же, в каком бы порядке мы ни опоражни¬
вали мешечки.

Мы можем кроме того предварительно соединить содер¬
жимое нескольких мешечков в один и прибавить сразу эту
сумму, вместо того, чтобы прибавлять содержимое мешечков
последовательно: конечный результат сложения от'этого не
изменится.

Теорема.—Сумма нескольких данных чисел не изменится,
если мы заменим некоторые из этих чисел их суммой или,
обратно, приняв некоторые из этих чисел за суммы, заме-
ним их отдельными частями этих сумм.

Условимся теперь выполнять действия, знаки которых
стоят внутри скобок, прежде тех действий, знаки которых
стоят вне скобок. Тогда указанные предположения мы смо¬
жем выразить, например, следующими равенствами:

3-1-2-1-4-|-1 = (3-)-2)-)-(4-|-1) = 5-1-5,

5-)-б = (2-)-3)-)-(4-)-2)==2 -|-3-{-4-4-2.

Пусть, например, Павел, Петр, Яков и Иван собираются
купить что-нибудь в складчину; при этом они Могут все
свои деньги отдать кому-либо одному, например, Павлу; но
можно сделать и так: Петр передаст свои деньги Павлу, а
Яков—Ивану, и только после этого Иван передаст все, что
у него есть, Павлу; результат, конечно, получится тот же.
Может, наконец, случится, что у Петра деньги лежат в трех
карманах, и он последовательно передает Павлу все, что у
него находится в каждом из карманов; окончательный резуль¬
тат и в этом случае будет тот же, что и раньше.

Предложения эти настолько очевидны, что изложение их
может показаться бесполезным. Не следует, однако, забывать,
что вся математика есть только совокупность следствий (более
или менее отдаленных), которые выведены из нескольких
предложений, столь же очевидных, как и только что изло¬
женные. К тому же, у читателя не должно быть никаких
сомнений относительно исходных точек, так как иначе у
нбго не будет уверенности и в дальнейших заключениях.

Изложенные свойства сложения называются перемести¬
тельностью и сочетательностью', это значит, что мы можем