380

СЧЕТ И СРЕДСТВЛ ВычиСлВний

S 6. Различные способы оценки точности

приближённых значений

Имея дело с приближёнными равенствами вида Х а, мы

должны, прежде всего, выяснить точный их смысл. Что, в самом

деле, означает выражение «икс приближённо равен такому-то

числу» ?

Приближённое равенство хама получает совершенно опреде-

ленный смысл, если оно сопровождается указанием границы абсо-

лютной погрешности, т. е. такого числа прибавление кото-

рого даёт число а + до, заведомо большее истинного (неизвестного

нам) значения х, или так называемую высшую границу х (ВГ х),

а вычитание — число а— да, заведомо меньшее х, или так назы-

ваемую низшую границу х (НГх). Так, например, равенство

хам 27,4 (20,1) кг означает, что 27,4—0,1 кг меньше х,

а 27,4—1-0,1 кг больше х. Общепринятая

запись

хян а (24: да) равносильна, таким образом, двойному неравенству

да. Обратно, зная НГх и ВГх, т. е. имея двой-

ное неравенство вида легко находим приближённое зна-

q-FP

и границу абсолютной погрешности

чение а

2

Приближённое равенство а да) означает следующее: «икс

приближенно равен а с границей абсолютной погрешности, рав-

ной да» или «икс приближённо равен а, отличаясь от а в ту или

другую сторону меньше чем на Ла».

В некоторых случаях строгое неравенство а— да

заменяется неравенством более общего вида а— да а + Да.

Согласно твёрдо установившейся со времен Гаусса традиции все

приближённые числа, приводимые в математических таблицах, имеют

границы абсолютной погрешности, равные половине единицы послед-

него имеющегося в них разряда. Например, найдя в таблице лога-

рифмов 1g7 бе 0,8451, мы можем быть уверены, что истинное зна-

чение lg7 отличается от 0,8451 меньше чем на 0,0001

и что, следовательно, 0,84505 1g 7 < 0,84515. Точно так же,

найдя в таблице tg 89%9' 3438, мы можем быть уверены, что

3437,5 89059' < 3438,5.

Возможно и употребительно другое определение границы абсо-

лютной погрешности, совершенно равносильное указанному выше.

Полагая называют число (оно неизвестно, если

неизвестно х) абсолютной погрешностью или просто погрешностью

приближённого числа а, а границей абсолютной погрешности этого

приближенного числа называют любое число да удовлетворяю-

щее неравенству ' Е Кда или lx—a ] или, что то же,

двойному неравенству — Да да. Прибавляя а ко всем

трём частям этого последнего неравенства, получим неравенство

а— А- да, которым пользовались для первого опреде-