382

СЧЕТ И СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ

число, все цифры которого точны, представляет собой результат

округления до некоторого разряда соответствующего истинного

неизвестного нам числа; таковы все числа, приводимые в матема-

тических таблицах. число значащих цифр такого прибли-

жённого числа, тем самым характеризуют его точность. Двузначным,

трехзначным, вообще К-значным приближённым числом следует считать

в соответствии с этим приближённое число, имеющее 2, З, вообще К точ-

ных значащих цифр. Этот способ характеристики точности прибли-

жённых чисел имеет то достоинство, что не требует никаких допол-

нительных указании: запись числа говорит сама за себя.

Указание числа точных цифр и места знака дробности равносильно

указанию границы абсолютной погрешности; так, четырёхзначные

квадратные корни из чисел от 1 до 100, в которых знак дробности

стоит после первой значащей цифры, имеют границу абсолютной

погрешности, равную 0,0005. Вместе с тем возможно и некоторое

заключение о границе относительной погрешности, хотя и менее

определённое, чем о границе абсолютной погрешности, но тем не

менее весьма существенное для обоснования некоторых практиче-

ских правил. Действительно, пусть дано К-значное приближённое

число, все цифры которого точны, и пусть знак дробности поставлен

после последней его цифры (как мы уже знаем, перенос запятой

относительной погрешности не меняет). Это число а удовлетворяет

неравенству 10“, причём а потому граница

относительной погрешности заключена межу 0,5 • 10-k и 0,5 • 10-(k-l).

Выражая её в процентах, получаем следующую таблицу:

да

а

2

от 0,5

з

4

от 0,05 от 0,005

до 0,050/0

до 50/0

до 0,50/0

5

от 0,0005

до 0050/0

6

от

до

Если не считать значащей цифрой единицу, когда она является

цифрой старшего разряда приближённого числа, то границы значе-

да

в этой таблице уменьшаются вдвое, так как при соблюде-

ний

а

нии этого условия имеем неравенство 2 • 10h-1 • 10h.

Нередко даётся несколько иное, чем выше, определение понятия

«точные цифры». Так, в статье П. С. Александрова и А. Н. Кол-

могорова читаем: «говорят, что какая-либо цифра данного при-

ближённого значения числа точная, если погрешность не превосхо-

дит по абсолютной величине единицы соответствующего разряда».

На практике на каждом шагу встречаются приближённые числа,

в которых погрешность (абсолютная) может быть ещё больше; так,

уже сложение четырёх слагаемых, каждое из которых имеет погреш-

ность не более половины сотой, приводит к сумме, погрешность