ГЛАВ А П

УЧЁТ ПОГРЕШНОСТЕЙ

S 8. Вычисления со строгим учётом погрешностей

по способу границ

Производя какое-нибудь вычисление с приближёнными данными,

мы получаем результат, по необходимости тоже приближённый. На

нём не могут не сказаться как погрешности данных, так и «вычи-

слительные погрешности», обусловленные неизбежными округлениями,

производимыми в ходе вычисления. Возникает вопрос первостепен-

ной важности: как оценить точность результата такого вычисления

с приближёнными данными?

Наилучший в смысле строгости и доступности способ такого

«учёта погрешностей» в результатах вычислений щ)едставляет собой

спо соб гр ани ц. Зная низшую и высшую границы (НГ и ВГ)

каждого из данных, без особого труда (по крайней мере в более

простых случаях) устанавливают НГ, и ВГ результата каждого дей-

ствия над этими данными и в конце концов получают НГ и ВГ

искомого окончательного результата. Именно этот способ приме-

нил Архимед в своей знаменитой работе «Измерение круга». Он не

ограничился получением приближённого значения отношения окруж-

ности к диаметру, равным 22 : 7, а показал, что это отношение,

10

обозначаемое теперь буквой п, больше чем З п

и меньше чем

вг

т. е. установил, что НГ

з

«Архимед последовательно определяет стороны описанных

6-утольника, 12-угольника, 24-угольника, 48-угольника и 96-уголь-

ника, выраженные с помощью диаметра, а именно, с тонким мате-

матическим чутьём он даёт для определяемого лишь приближённо

отношения диаметра к стороне описанного многоугольника всегда

несколько меньшее значение для того, чтобы получить для его пе-

риметра и, тем более для длины окружности, верную верхнюю

границу. .. Чтобы найти нижнюю границу отношения длины окруж-

мости к диаметру, Архимед пользовался соответствующими вписан-