36

ПРОИСХОЖДЕНИЕ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ

лось знаком М; знак М означал 20 ООО и т. д. Здесь уже приме-

няется мультипликативный принцип. При этом М можно было за-

писать ещё как [вм или ЛТР. Если коэффициент М записывали позади

соответственной буквы, то часто он заменялся просто точкой. На-

пример, 43 458 записывалось так: Г.,тиуг,. Этот последний способ

записи, применявшийся Диофантом, ближе всего к позиционному.

Наибольшее число, которое можно было записать при помощи

ионийской системы счисления, было 108 — 1. Хотя, казалось бы,

алфавитная нумерация наталкивала на мысль давать значение цифре

пе только по её написанию, но и по месту, которое она занимает,

однако ни одна алфавитная нумерация не дала начала позиционной

системе. Лишь два крупнейших математика древности, Архимед

(287—212) и Аполлоний (265 довольно близко подошли

к мысли о позиционном принципе обозначения. Архимед в «Исчи-

слении песка» предложил счёт «октадами». Все чисјта от 1 до

108—1 объедийяются в первую октаду. Затем 108 принимается за

новую единицу счета, и все числа от 108 до 1016

—1 относятся ко

второй октаде и т. д. При этом все числа второй, третьей и после-

дующих октад обозначались так же, как и числа первой октады.

Аналогичную группировку дал в своём «Быстросчётчике», до нас,

к сожалению, не дошедшем, Аполлонии, только вместо октад он

пользовался тетрадами (104). Все числа от до 104—1 он объеди-

нял в первую тетраду, от 104 до 108—1 — во вторую и т. д. 1).

И все же ни Архимеду, ни Аполлонию не пришла мысль о еди-

нообразном обозначении всех чисел с помощью l() знаков (напри-

мер, 10 первых букв алфавита) по позиционному принципу, ни тем

более мысль о внедении нуля.

Это обстоятельспзо, как отмечает и М. Я. Выгодский, объясняется

тем, что «ионийская система нумерации в пределах чисел, с кото-

рыми греческим математикам приходилось оперировать, вполне удо-

влетворяла требованиям практики» 2). Поэтому даже тогда, когда

греки уже применяли для дробей шестидесятиричную систему, заим-

ствованную ими у вавилонян, причём пользовались и символом для

нуля, они не изменили нумерации целых чисел. Этим же можно

объяснить и то, что позиционная система, ставшая известной в Ви-

зантии уже задолго до Максима Плануда (XIlI в. н. э ), не полу-

чила там все же распространения, и общеупотребительной про-

должала оставаться алфавитная нумерация.

1) Тот же при1ЩИП применяется в приводимом Аполлонием способе умно-

жепия, совершенно аналогичном нашему. Умножение двух чисел, кратных

десяти или ста, ио этому способу сводилось к умножению их «коренных»

чисел, т. е. к умножению чисел, выражающих число десятков или сотен

в этих числах.

М. В г о д с к и й, Арифметика и алгебра в древнем мире, стр. 192.