ПОМЕСТНЫЕ ИЛИ позиционныЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

47

З) Абак с древнейших времён был в употреблении у египтян,

греков, китайцев, римлян, а между тем ни один из этих народов

не пришёл к позиционной системе 1)-

Более правдоподобно предположить, что и абак и позиционная

система возникли из одного и того же источника — группового

счета и благодаря одним и тем же историческим процессам.

Бозникновение позиционной системы можно представить следую-

щи-Н образом. Принцип позиционности является по существу соедине-

нием двух принципов: 1) мультипликативности и 2) опускания при

письме разрядовых единиц. Завершается позиционная система введе-

нием нуля. Для объяснения происхождения позиционного принципа

прежде всего следует объяснить появление мультипликативной формы

записи, являющейся, кстати, одновременно основой изображения

числа на абаке.

Разберём сначала, чем принципиально отличается мультипликатив-

ная форма записи от аддитивной. С чисто алгебраической точки

зрения запись, например, числа 30 в виде IIIx или является

выражением закона дистрибутивности. Действительно:

или хит.

С другой стороны, запись вроде IIIx выражает тот факт, что при

счёте десятки принимаются за новые единицы. То же имеет место

и при счёте сотен, тысяч и т. д. Итак, мультипликативная форма

записи наиболее отчетливо отражает тот факт, что при счёте опре-

делённое множество единиц первого разряда принимается за еди-

ницу следующего разряда, определённое множество единиц второго

разряда принимается в свою очередь за единицу третьего разряда

и т. д. Это достигается тем, что для выражения известного коли-

чества единиц различных разрядов применяются одни и те же чис-

ловые символы, после которых отмечается, к какому разряду при-

надлежат сосчитанные единицы. Этой же записью подчёркивается,

что объектами счёта могут быть элементы любой природы (вещи,

определённые множества вещей, десятки их, согни и т. д.), а это

в свою очередь выражает важнейшее свойство отвлечённого числа

быть общей формой, свойственной самому различному конкретному

бытию.

Но как раз такой способ счёта, как мы отмечали, имеет место

при счёте числами-совокупностями. Так, африканские негры, веду-

щие счёт на камешках или орехах, складывают их в кучки по

5 предметов в каждой. Пять таких кучек они объединяют в новуе

кучу и т- д. Очевидно, здесь сначала ведётся счёт камешков, затем

1) Ср. примечания И. Тимченко к цит. книге Кэджори, стр. 318—720. —

Следует отметить, впрочем, что И. Ю. Тимченко иолагал, что «идея номе-

стного значения знаков, весьма вероятно, родилась при употреблении абака,

даже и пе снабжеппого меченными жетонами» (там же).