— 95 —

тель и зваменатель которой были бы меньшими числами.

Сокращение дробей основано на следующей теореме:

Теорема 111.—Если числитааь и знаменатель одной из

двут Данных дробей соответственно равны произведению чис-

.лителя и знаменателя друзой дроби на одно и то же число,

то такие дроби между собой равны.

Чтобы выразить соотношение, существующее между двумя

такпми дробями,. часто говорят, что члены одной из этих

дробей суть равно-крапшые членов другой дроби.

Так, 12 и 18 суть равно-крапшые 2 и з, так как 12=2Х6

12 2

и 18=3 Х 6. Докажем, что дроби, — и— равны между со-

18 з

бой. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что де-

ление какой-нибудь величины на 18 равных частей можно

заменить делением ее сперва на з равные части, а затем—

каждой из этих частей еще на 6 равных частей; таким

образом, мы получим всего з Х 6 = 18 равных между собой

частей; но каждая треть равна 6 восемнадцатым, поэтому

2 трети равны 2 Х 6, т.-е. 12 восемнадцатым, что и требо-

валось доказать.

Теорему III можно также вывести из принципов I и П,

•параграфа 53.

Изложенную теорему можно также выразить в следую-

щих двух формах, которые полезно знать, хотя ничего но-

вого они собою и не выражают:

Теорема •111 дроби не изменится, если

оба члена ее мы умножим на одно и то же число.

Теорема III дроби не изменится, если мы

разделим на одно и то же число оба члена ее, которые, по

предположению, Делятся на это число.

Этим последним выражением теоремы 111 мы и пользу-

емся при сокращении дробей; действительно, сокращение

дроби достигается делением обоих членов ее на их общего

делителя. Так, мы имеем:

24 12

250 25

45 о •

Если желают сократить дробь, насколько только это воз-

можно, то оба члена ее делят на их о. н. д.; при этом по-

мучается некоторая новая дробь, равная данной, оба члена