Наконец не трудно еще установить, что площади подобных

многоугольников относятся между собою, как квадраты сход-

ственных сторон. Действительно, если данные нам подобные

многоугольники ABCDE и FGHkL (черт. 31) разбить диагона-

лями ЕЕ, BDH GL, ОК на треугольники 5, So, S;, s:, и то-

имея в виду; что Д и мы мо-

жем записать:

АВ2. ED2 DC2

¯F02' ¯Lk2 ¯ню•

Но вторые отношения записанных пропорций равны между

собою, так как каждое из них представляет собою квадрат отно-

шения подобия. Поэтому и первые отношения тоже равны между

собою, и каждое из них тоже равно квадрату отношения подо-

бия. Значит мы можем записать, что

. Взяв те-

перь отношение суммы предыдущих членов к сумме последую-

щих членов нашего ряда отношений, мы получим

st АВ2

. Но сумма S1-FSH-S3 представляет собою площадь

многоугольника ABCDE, а сумма st -4-se-l-sg площадь много-

угольника FGHKL. Поэтому выходит, что отношение площадей

подобных многоугольников равно отношению квадратов сход-

ственных сторон (или квадрату отношения сходственных сторон).

Задачи.

1. 1) Можно ли утверждать, что стороны всех квадратов пропорцио-

нальны? почему? а прямоугольников? ромбов? параллелограмов?

2) Почему можно с уверенностью сказать, что все квадраты подобны

между собою? а правильные шестиугольники? семиугольники? почему?

З) Можно ли утверждать, что все правильные пятиугольники подобны

между собою? а правильные шестиугольники? семиугольники? почему?

4) Можно ли утверждать, что все ромбы подобны между собою ?

почему?

5) Можно ли утверждать, что ромбы, имеющие по одному равному

острому или тупому углу, подобны между собою? почему?

6) Можно ли утверждать, что все прямоугольники подобны между

собою? почему?

7) Можно ли утверждать, что все прямоугольники, у которых отно-

шение основания к высоте выражается одним и тем же числом, подобны

между собою? почему?

8) Можно ли утверждать, что все параллелограмы подобны между

собою? почему?

9) Можно ли утверждать, что все параллелограмы, имеющие по од-

НОМУ равному углу, подоб.чы между собою? почему?

10) Можно ли утверждать, что все параллелограмы, у которых отно-

шение двух неравных сторон выражается одним и тем же числом, по-

добны между собою? почему ?

32