13. Периметр правильного треугольника равен отрезку р. Найдите построе-

ннем радиусы- вписанного в треугольник и описанного около него кругов.

У ка з а н и е. По периметру р постройте треугольник

S 170. Вписанные четыреугольники.

Начертите окружность. Впишите в нее

реугольник ABCD (рис. 101). Докажите,

что сумма противоположных углов вписан-

ного четыреугольника равна 1803.

Указание. Сколько градусов в сумме

дуг АВС и ADC, на которые опираются

углы АВС и ADC (рис. 101)? Сколько гра-

дусов в сумме углов АВС и ADC? Сколько

градусов в сумме углов BAD и BCD?

Вывод. Во всяком вписанном в круг

стыреугольнике СУЯ,иа внутренних про-

тивоположных углов равна 1800, или 2d.

произвольный четы-

С

Рис. 101.

S 171. Около каких четыреуголъников можно описать

окружность.

Рассмотрите рисунок 102. Дан четыреугольник ABCD, в кото-

ром сумма углов Е АВС+ 1800, а следовательно, и

сумма углов 1800. Докажем, что около четы-

реутольника ABCD можно описать окружность.

Рис. 102..

Известно, что через три точки, не

лежащие на одной прямой, можно про-

вести одну окружность. Пусть вы про-

вели окружность через вершины А, В

и С (рис. 102). Относительно положе-

ния вершины D можно сделать три пред-

положения: первое — окружность прой-

дет через точку D; BTopoe—D оста-

нется вне круга; третье — D окажется

внутри круга.

Положим, что точка D осталась вне окружности, т. е. что

окружность прошла через точку D ; тогда ZADC> ZADC

(докажите это, основываясь на свойстве внешнего угла треуголь-

ника) и сумма углов ZABC-l-Z АГУС> 1800. Может ли быть

вписанный четыреугольник, у которого сумма противоположных

195