— 32 —

жителей мы заменим равным ему произведением двух мно¬
жителей.

Эта обратная теорема нисколько не отличается от ранее
изложенной прямой. Действительно, она выражает только, что

2X3X20X6 = 2X3X4X5X6.

Ч

По прямой теореме второй член равен первому, следо¬
вательно, и первый член равен второму.

Пользуясь этой теоремой можно доказать, что произведе¬
ние нескольких сомножителей не изменится, если мы изме¬
ним порядок каких-либо двух последовательных сомножителей.

Действительно, если нам дано произведение

4Х5Х6Х7Х8

и требуется доказать, что мы можем изменить порядок
двух любых последовательных множителей, например, 6 и 7,
то достаточно будет написать:

4X5X6X7X8 = 4X5X42X8 = 4X5X7X6X8,

чтобы убедиться в возможности подобной замены. (При
преобразовании данного выражения мы применили сперва
прямую теорему, затем обратную ей и, наконец, теорему
о произведении 2-х чисел: б X 7 = 7 X 6.)

После всех сделанных замечаний нам легко будет дока¬
зать и следующую основную теорему, о которой мы гово¬
рили выше:

Теорема. — Произведение нескольких сомножителей не
изменится, если мы изменим порядок этих сомножителей.

Так, пусть требуется доказать равенство следующих
двух выражений:

5Х2ХЗХ4Х6 = 4ХЗХ6Х2Х5.

Легко видеть, что после нескольких Последовательных
перестановок рядом стоящих множителей, все члены второго
выражения расположатся в том же порядке, как и .члены
первого выражения. Действительно, чтобы цифра 5 напр.,
заняла первое место, достаточно несколько раз применить
предыдущую теорему к множителям, стоящим левее 5,
т.-е. написать: