/

26. Теоремы, относящиеся к делению.—Мы докажем сей¬
час два важных предложения, которые будут необходимы
нам^в дальнейшем. Первое из них таково: если даны дели¬
мое, делитель^ частное и остаток от деления^ и мы рас¬
смотрим некоторое новое делимое и нового делителя, кото¬
рые равны первому делимому и первому делителю, соответ¬
ственно умноженным на одно и то же число, то мы найдем,
что новое частное равно первому частному, а новый остаток
равен произведению первого остатка на то же число. Это
длинное предложение можно заменить следуюпі,ей простой
теоремой, имеюп];ей совершенно тот же смысл:

Теорема Ь—Если мы умножим делимое и делителя на
одно и то же число, то частное не изменится, а остаток
умножится на то же число.

Докажем сначала эту теорему на каком-либо частном
примере, выбрав в качестве такого примера хотя бы сле¬
дующие две задачи:

V Павла 27 фр. Сколько книг может он купишь на эти^
деньги, если каждая книга стоит 4 фр., и сколько денег оста-
нется у него после ѳтой покупки?

У Петра 27 монет по 20 фр. Сколько кресел может он
купишь на эти деньги, если за каждое кресло надо заплатить
по 4 монеты в 20 франков, и сколько денег останется у него
после этой покупки?

Ясно, что Павел может купить 6 книг, а Петр 6 кресел;
у первого останется после покупки 3 фр., а у второго
3 монеты по 20 фр., т.-е. 60 фр. Частное одинаково в обоих
случаях; остаток во втором случае в 20 раз больше, чем в
первом; то же надо сказать и относительно делимого и дели-"
теля. Формулы деления напишутся так:
первый случай:

27 = 4X6
(1) { 3<4
второй случай:

27 X 20 = 4 X 20 X 6 + 3 X 20
(2) 3 X 20 < 4 X 20

ИЛИ

540 = 80 X 6 4- 60
(3) 60 <80