УЧЁТ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Пусть известно, что х Ла) и уд:зЬ Ш),

найти приближенные значения чисел x-l-y, х— у, ху,

(п — натуральное число), характеризуя их точность.

Из неравенств

а — а -1- Ла,

почленным сложением получаем неравенство

393

и требуется

(1)

(2)

(3)

Если умножить все члены неравенства (2) на— 1 и переписать

его в виде

то почленное сложение его с (1) даёт неравенство

(4)

а —b — (Да -Е АЬ) — у а — Ь -1- (Да -Г- АЬ).

Объединяя неравенства (3) и (4), получаем следующую теорему:

Т е о р е ма 1. Граница абсолютной погрешносјпн суляы и раз-

ностн приближённых чисел равна сумме границ абсолютных по-

грешностей этих чисел. Эта теорема обобщается на алгебраиче-

скую сумму с любым числом членов.

Предполагая все члены неравенств (1) и (2) положительнымт,

почлегшо перемножаем эти неравенства и получаем:

ab — (а АЬ-р Ь Ла) 4- Аа ab -4- (а 4- Ь до) 4- Аа АЬ. (5)

Произведение да дь в левой части можно отбросить, усиливая

это неравенство. Но, считая числа Аа и значительно меньшими,

чем а и Ь, как это обычно и бывает на практике, мы отбросим это

произведение Аа АЬ, представляющее собой число «второго порядка

малости» по отношению к произведению ab, и в правой части

неравенства, лишая тем самым рассматриваемый способ границ

погрешностей того безупречно строгого характера, какой имеет

изложенный выше способ границ. Получаем новое неравенство

о

ab — (а ДЬ —1- Ь Ла) ху -1- (а дь -1- Ь Ла),

или после понятных преобразований

ху — ab

(7)

ab

Последнее неравенство выражает новую теорему.

Т е о р ем а II. Граница относительной погрешности произве-

Дешш равна сумме границ ОТНОСИТе,ЉНЫХ погрешностей со-

множителей.