414

СЧЕТ И СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ

значных чисел равно 82,5 и отличается от точного своего значения

на разность 83,412 — Но после округления приближен-

ного произведения согласно правилу П до двух значащих цифр,

а именно, после замены его числом 82, эта разница увеличивается

до

1,412. Таким образом, в данном случае фактиче-

ская погрешность результата вследствие его округления по пра-

вилу lI подсчёта цифр повышается. Но если, например, взять произ-

ведение 1,41 •

1,73 считая сомножители приближениями до

И Ф 1,41421

трёх значащих цифр к точным значениям

1,73205 ... ,

и округлить его согласно правилу ll, то ока-

жется, что это округлённое произведение 2,44 отличается от точ-

ного произведения

несколько меньше,

чем неокруглённое. Детальное исследование показывает, однако,

что вообще округление ух уд ш а ет точность, и если бы дело было

— приближённые результаты лучше было бы

только в точности,

вовсе не округлять. Но для вычислительной практики громадное

значение имеет и про ст ота результатов: отказ от округлений

влечёт за собой необходимость иметь дело с числами, имеющими

очень много, сплошь и рядом даже бесконечно много цифр, и

вычисление становилось бы крайне трудным или даже вовсе невы-

полнимым.

Как можно показать, это неблагоприятное влияние округлений

становится почти неощутимым, если соблюдать следующее правило:

Правило V подсчёта цифр. Во всех промежуточных ре-

зультатах (т. е. в тех, которые служат данными для последующих

действий в той же задаче) следует сохранять не столько цифр,

сколько рекомендуют правила I—lV, а одной больше.

Соблюдая это правило, такую лишнюю («запасную») цифру лучше

как-нибудь отмечать, например писать её в уменьшенном размере;

в последнем (окончательном) результате она отбрасывается. Сохра-

нение вместо одной двух и более запасных цифр оправдано лишь

в случае особо сложных вычислений, в громадном же большинстве

обычных вычислений оно бесполезно для точности окончательного

результата и вредно сказывается на обпщем объёме работы.

Аналогичное положение имеет место в случае, когда данные

имеют различное число цифр (десятичных знаков при сложении и

вычитании, значащих цифр при других действиях):

Правило Vl подсчёта цифр. Более точные Данные реко-

лендуется предварительно округлять, сохраняя в них лишь по

одной лишней (запасной) цифре сравнительно с менее точнымИ

Данными.

Сохранение более чем одной лишней цифры бесполезно для точ-

ности, что доказывается сравнением значений средней квадратиче-

сков погрешности результата (см. таблицу на стр. 411), и вредно

из-за усложнения работы, а отказ от лишней цифры снижает точность.