УЧЁТ ПОГРЕШНОСТЕЙ

порядка малести можно пренебрегать. Приходим К заключению, что

Уо уо)

Дх

397

Пользуясь известной теоремой о модуле суммы («модуль суммы не

больше суммы модулей слагаемых») и замечая, что модуль произведения

равен произведению модулей сомножителей, преобразуем полученное нера-

венство заменой lal и ' через Ах и Ду; имеем:

lf(xo Уо Р) —f (Хо, Уо)

дх

дх

Численное значение последнего выражения (в нём х и у заменяются

через Хо и уо) больше (по модулю) всех возможных При данных усло-

виях значений разности между неизвестным точным значением функции

f(xo 4-а, уо + 13) и известным- приближённым её значением / (Хо, уо), а по-

тому может быть принято в качестве границы абсолюттюй ит•рештюсти

числа f(xo, у) как приближения к / (х, у).

Заключение это легко обобщается на функцию любого числа аргументов,

и мы имеем формулу

ДУ

дј(хо, У,

дх

(А)

по которой и вычисляется граница абсолютной погрешности. Отдельные

члены правой части указывают ту долю общей погрешности, какая обусло-

влена погрешностями значений каждой из переменных в отдельности. Пола-

х

сая, что функция f(x, у) последовательно равна х 4- у, х— у, ху, — ,

х, легко получаем с помощью формулы (А) все рассмотренные выше тео-

х

ремы I-—V. Так, взяв f(x,

имеем:

дх¯у'т-

х

и фор-

мула (А) даёт (при положительных значениях х и у): д

дх 4-

У

х

+ Ду, или после почленното деления на

Х . Х ДХ Ду

т. е. теорему III.

Вот пример непосредственного применения формулы (А).

П р и мер 2. Вычислить сторону t треугольника, зная две другие его

стороны х (20,2) мм, мм и между ними

Р е ш е ни е. Пользуясь формулой 4- уз —2ху cosz и применяя

четырёхзначные таблицы, находим приближённое значение искомой стороны

а: 27,84 мм. Дифференцирование даёт:

х — у cos

У — х cos

ху sin z

Дх

н для границы абсолютной погрешности найденного приближённого значе-

пия t получаем, применяя формулу

0,359 . + 0,628 . + 23,3 . 0,00873 = 0,072 + 0,126 + = 0,401.