402

СЧЁТ И СРЕДСТВА вычислЕНИй

ближёниых чисел а и Ь. Согласно сказанному выше имеем:

li31<005.

Надо дать оценку разности ху— ab ай-А-Ьа -f-q3 в единицах разряда

третьей значащей цифры произведения ab. меем:

0,005 а +0,5 0,0025

или

ху — + 100 Ь) +0,0025.

Рассмотрим порознь случаи, когда произведение ab имеет 1) три и 2) че-

тыре цифры до знака дробности. Неравенство • 1,00 ab<999 • 9,99

показывает, что только эти два случая и возможны.

В 11ервом случае ab 999,99; 10() Ь — , где а потому

а

2

Дифферепцнруя функцию а + по а. убеждаемся, что при непрерыв-

ном измепепии а от а 100 до а опа сначала убывает (от значения

316,2.. потом

1099,99 при 100 до значения '2р=6З2,4...

при а

растёт от значения 2р при а = р до значения 1099+ при а = 9W . Но,

999

при'шмая во внимание, что сумма а -4- lC0b принимает при сделаппых пред-

положениях только целые значения, заключаем, что наибольшее возможное

её значение есть 109!), а потому

ху— аи < о,Ш5 • 1099 +0,05 = 5,4975

что и доказывает первую часть теоремы для случая, когда произведение

имеет три значащие цифры до знака дробности.

Во втором случае, когда произведение ab имеет ие три, а четыре цифры

до знака дробности, наибольшее возможное значение его погрешности вычи-

сляется гораздо проще. Действительно, теперь

1 ху — • 999 + • 9,99 9,9925 < 10.

При четырёх значащих цифрах до знака дробности третья значащая цифра

есть цифра десятков, н у пас, снедовательпо, доказано, что число ху —0 [

меньше одной единицы разряда третьей значащей цифры произведения. Г1ер-

вая часть теоремы тем самым доказана и для второго случая.

Если одни из приближённых сомножителей имеет К точных знача-

щих цифры, другой К -4-1 то, рассуждая по предыдущему, имеем:

ху — аь < 0,0005 а + Ь + 0“0025 0,05 (а + Ь) +

Если произведение ab имеет три цифры левее запятой, то

1000b<—

где W9 999, а потому

ря

Эта последняя сумма при изменении а от 100 до 999 только убывает, так

и следовательно, паи-

как ее минимум достигается при а 999,99... ,