400

СЧЁТ И СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ

S 10. Предельные погрешности результатов действий над

приближёнными значениями. Правила подсчёта цифр

Если известно, сколько точных цифр имеет каждое приближён-

ное данное, и если, кроме того, известны сами эти данные, то

в каждом отдельном случае, основываясь на одном из рассмотрен-

ных выше способов (границ или границ погрешностей), мы можем

установить, сколько заслуживающих доверия цифр содержит резуль.

тат, и округлить его надлежащим образом. Естественно возникает

вопрос: нельзя ли сделать какие-либо заключения о точности резуль-

татов, зная только число точных цифр каждого из данных, но не

зная самих данных? Оказывается, такие заключения возможны и

с успехом используются в вычислительной практике. Их часто назы-

вают «правилами подсчёта цифр» или «правилами округления резуль-

татов действий над приближёнными числами». Чтобы придти к этим

правилам, надо установить, какого наибольшего значения достигают

результаты действий над компонентами, имеющими данное число

точных цифр. Назовём «предельной погрешностью» результата каждого

действия границу его абсолютной погрешности, вычисленную в пред-

положении, что компоненты даны с определённым числом точных

цифр, и займёмся вычислением этих предельных погрешностей для

разных случаев. Предельную погрешность будем обозначать буквой е.

Проще всего определяется предельная погрешность алгебраиче-

ской суммы. Если компоненты (слагаемые и вычитаемые) даны

с каким угодно числом десятичных знаков, причём компонент с наи-

меньшим числом десятичных знаков имеет десятичных знаков

(К— целое неотрицательное число), а всего имеется п компонентов,

то е • п 10- к. Истинная абсолютная погрешность суммы рав-

няется этой предельной погрешности в случае, когда все компо-

ненты имеют по десятичных знаков и каждый имеет максималь-

ную возможную погрешность в пол-единицы разряда последней

цифры, причём все— одного знака. Таким образом, эта предельная

погрешность для общего случая не может быть понижена.

Эти соображения являются достаточным обоснованием следую-

щего практического правила:

Правило I подсчёта цифр. При сложении и вычитании

ПРИбЛИЖёННЫХ чисел в результате следует сохранять столько

Десятичных знаков, сколько их в приближённом Данном с наи-

женьшня числом Десятичных знаков.

Напоминаем, что десятичными знаками числа называются те его

цифры, какие расположены справа от знака дробности. Все прибли-

жённые данные предполагаются округлёнными так, чтобы в них оста-

вались только цифры, заслуживающие доверия. Целые числа с нулями

справа, заменяющими неизвестные цифры, рекомендуется писать

в виде произведений на некоторую степень 10 с целым показате-

лем ,(например, приближенное число 347 000, являющееся результа-