406

СЧИТ И СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ

такого логарифма есть 0,00005, а суммы 20 логарифмов есть

0,00005 Х 20==(),001. Произведя сложение логарифмов, получим сумму

25,8638, причём ручаться можем только за то, что истинное значе-

ние этой суммы больше чем 25,8628 и меньше чем 25,8648. Если же взять

восьмизначные логарифмы тех же 20 чисел и опять произвести сложе-

ние, то получим сумму 25,86389705. Как видим, истинная погрешность

первой суммы не достигает даже одной десятитысячной и составляет,

таким образом, примерно десятую часть своей теоретической границы.

Такое расхождение между истинной и наибольше(ћ возможной

погрешностями объясняется, прежде всего, тем, что при разыска-

иий этой наибольшей возможной погрешности мы всегда предпола-

гаем самое неблагоприятное стечение обстоятельств. Так, в только

что разобранном примере мы считаем границей погрешности ка-

ждого слагаемого пол-единицы разряда последней его цифры. Между

тем истинные погрешности этих слагаемых могут принимать, и на

—0,5 до +0,5

самом деле принимают, всевозможные значения от

единицы этого разряда. Далее, положительные погрешности, встре-

чаясь примерно одинаково часто с отрицательными, в более или

менее значительной степени их уравновешивают, процесс накопле-

ния погрешностей идёт параллельно процессу взаимной их компен-

сации, и в результате вероятность того, что погрешность суммы

примет большое, т. е. близкое к границе, значение, становится

крайне малой. Конечно, подбирая слагаемые искусственно, можно

получить погрешность суммы, как угодно близкую к границе. При

отсутствии же такого искусственного подбора это становится весьма

мало вероятным. Методами теории вероятностей можно установить,

как часто должно встречаться то или иное значение погрешности•суммы.

Результаты теоретического исследования подтверждаются и пря-

мым опытом. Так, например, был проделан такой опыт. Было взято

440 сумм по 20 логарифмов каждая, сначала с 5, потом с 7 деся-

тичными знаками, и определены разности этих сумм, т. е. прибли-

Жённые значения погрешностей сумм пятизначных логарифмов. Ниже-

приведённые числа показывают довольно близкое согласие резуль-

татов опыта и тех чисел, какие даются теорией.

Погрешность суммы

лежит между

100 и 200

и зоо

зоои 400

О и 500

500 и 1000

По теории

56,140/0

31,720/0

10,130/0

1,820/0

0,180/0

0,010/0

Число случаев в

действительности

650/0

280/0

60/0

00/00

00/0

Погрешности здесь выражены в десятимиллионных долях (в еди-

ницах разряда последней цифры семизначных логарифмов). Граница