ПОГРЕШНОСТЕЙ

401

том округления некоторого точного числа до разряда тысяч, лучше

писать в виде 347 • 103 или 3,47 • 106 и т. д.).

Необходимость округления, указываемого настоящим правилом,

становится очевидной, если рассмотреть какой-либо конкретный

пример, заменяя особыми знаками, например знаками вопроса, неиз-

вестныд цифры приближённых данных. Пусть, например, требуется

найти сумму трёх указанных ниже приближённых слагаемых, из

которых первое является результатом округления неизвестного

истинного значения до трёх десятичных знаков, второе— до 1,

атретье — до 2. Г Троизводя сложение обычным порядком так, как

это делается в случае точных компонентов, мы получаем число

87,943, в котором цифры сотых и тысячных никакого доверии не

заслуживают и должны быть отброшены, что и рекомендует

сделать правило 1.

0,423?..

72,8???..

14,72??..

87,943?..

87,9

В настоящем примере истинная абсојпотная погрешность суммы

может лишь незначительно превзойти пол-единицы разряда послед-

ней цифры, но легко указать случаи, когда она будет составлять

несколько единиц этого разряда. Заслуживает ли доверия эта

последняя цифра? Этот вопрос будет рассмотрен в SS 11 и 12.

Переходя к умножению, формујшруем следующую теорему о

предельной погрешности:

Те ор е ма 1. Произведение двух приближённых чисел, имею-

ишх каждое точных значащих цифр, предельную погреш-

ность, равную 5,5 еДИНЩЫ разряда к-й знсшащей цифры; это

значение предельной погрешности сниэюается до 5,05 для случая,

когда один из приближённых солнотсителей илеет точных

значащих цифр, другой /e-l—l цифру, и до 5, когда один из

имеет точных значащих цифр, другой э,се точен.

Вот пример случая, когда истинная абсолютная погрешность

произведении бјшзка к указанной в теоремб предельной погрешно-

сти: 100,499, ху— 1004,486. .., 100,

ab Здесь произведение приближённых трёхзначных чисел а и

Ь отјшчается от произведения точных чисел х и у на 5,486.

еди-

ниц разряда 3-й знђчащей цифры.

Приводим доказательство теоремы, ограничиваясь случаем (легко

видеть, что д.чя произвольного значения К это доказательство сохраняет силу,

требуя лишь несколько более длинной записи). Положение знака дробности

в даниых безразлично; будем для определённости считать запятую поставлен-

пой в первом из данных после третьей значащей цифры, во втором — после

первой. Пусть точные значения сомножителей а и Ь суть х и у, так что

х -f-a, у А- р, где а и ё— ИСТИН11ые абсолютные погрешности при-

Et5 Энциклопедия , кн. 1