410

СЧЁТ И СРЕДСТВА ВЫчИСЛВНИЙ

ства по значку 1, принимающему р значений (от до р), и получаем:

р

iz=I

После почленного деления на р2 приходим к равенству

4-02

2

говорящему, что при сделанных предположениях квадрат средней

квадратической погрешности суяяы равен сумме квадратов сред-

них квадратических погрешностей слагаемых.

Это заключение сразу обобщается на любое число слагаемых

(как легко видеть, оно сохраняет силу и при более общих предпо-

ложениях, чем сделано выше). Рассматривая сумму п слагаемых, удо-

влетворяющих указанным выше требованиям, имеем:

— (з: пода,

Итак, средняя квадратическая погрешность суяяы равнопюц-

ных слагаемых пропорциональна усорню квадратному из их числа.

Отсюда следует, что средняя квадратическая погрешность суммы п

приближённых слагаемых, каждое из которых есть результат окру-

гления некоторого точного числа до К-го десятичного знака, равна

или приближённо 0,289 п • 1 о- к

Возвращаясь к принципу акад. А. Н. Крылова, пишем неравенство

Т З • 1, которое даёт: п < 12.

Итак, имея не более 12 приближённых слагаемых, полученных

посредством округления до одного и того же десятичного знака,

можно сохранять все десятичные знаки суммы. На практике часто

превосходят это число 12. Описанный выше опыт со сложением лога-

рифмов показывает, что и при п 20 стоит сохранять все знаки суммы.

Любопытно сопоставить соответствующие значения предельной

погрешности Е и средней квадратической погрепшости суммы для

разных п. Приводим табличку для п от 2 до 12, выражая е и

в единицах разряда К-го десятичного знака.

14151 9 10 |

11 12

3,51 4

6

5,5

4,5

5

2,5

з

1,5

2

0,409 0,501 0,5781 0,6471 0,7081 0,765) 0,8181 0,867' 0,9151 0,9601

Изложенный вывод значения (3 для суммы п слагаемых суще-

ственно упрощается, если •использовать простейшие теоремы о ве-