412

счет и СРЕДСТВА вычислмий

ность 5,5, а средняя квадратическая только 0,626 (единицы ра.зряда

/е-й значащей цифры), то в подавляющем большинстве случаев фак-

тическая погрешность должна быть очень небольшой и лишь в ред-

ких случаях приближаться к предельной. Естественно, возникает

желание установить более точно картину распределения погреш-

ностей, т. е. выяснить, как часто встречаются погрешности, заклю-

Чённые в определённых интервалах.

Решение этой .задачи требует несколько углублённых сведений

по теории вероятностей, и мы ограничимся ссылками на книгу

акад. Крылова [10], где эта задача решена для суммы (стр. 195—204).

Применяя формулы, приведённые у акад. Крылова, к сумме 20 сла-

гаемых, полученных округлением до одного и того же десятичного

знака произвольных точных чисел, получаем результаты, указанные

выше (на стр. 406): погрешность, не превосходящая одной единицы

разряда этого десятичного знака, получается в 56,140/0 всех- слу-

чаев, погрешность от одной до двух единиц— в 31,720/ всех

случаев, от /'.вух до трох единиц— в 10,130/0, от трех до четырёх

единиц— в 1,820/0, от четырёх до пяти единиц— в 0,180/

а от

пяти до 10 единиц— только в 0,010/ всех случаев, т. е. в среднем

один раз на 10 000 случаев сложения; погрешность, превосходя-

щая 10, здесь невозможна. Рассматривая произведение двух К-значных

приближенных чисел, полученных посредством округления до К-й

значащей цифры произвольных точных чисел: имеем результат с по-

грешностью, не превосходящей одной единицы разряда /е-й знача-

щей цифры, в 91,510/0 всех случаев, с погрешностью от однои до

двух единиц— в 5,870/ , от двух до трёх единиц— в 2,090/0 , от

трёх до четырёх единиц— в 0,470/ , от четырёх до пяти с поло-

виной единиц— в 0,060/0 всех случаев; погрешность в 5,50/

— пре-

дельная.

Нетрудно поставить опыт, подтверждающий правильность рас-

чёта. Согласие между опытом и теорией тем больше, чем больше

рассмотрено случаев умножения. Г1ри коллективной работе группы

в 20—30 человек проведение такого опыта займёт всего 15—20 ми-

нут. Пусть каждый участнИк возьмёт несколько пар совершенно

произвольных трёхзначных чисел и перемножит числа каждой пары,

а затем округлит взятые числа до двух значащих цифр и вновь

перемножит эти уже округлённые числа каждой пары. Поставив

знаки дробности во взятых числах так, чтобы произведения содер-

жали по две цифры левее запятой, находим разности произведений

неокруглённых и округлённых чисел каждой пары. Например, берём

числа 492 и 927, произведение которых 456 084, и после их округ-

ления до двух значащих цифр получаем числа 49 и 93, произведе-

ние которых 4557. Поставив в каждом сомножителе запятую после

первой цифры, имеем: 4,92 • 9,27 45,6084 и 4,9 • 9,3:==45,57. ЗдеСЬ

разница между произведениями точных и приближенных сомножи-

телей составляет 0,0384 (единицы разряда второй значащей цифры)•