408

счёт и СРЕДСТВА вычнслвннй

квадратической погрешности, т. е. о корне квадратном

из среднего значения квадрата погрешности.

Чтобы яснее её себе представить, решим такую задачу:

Найти среднюю квадратическую погрешность округления, состоя-

щего в отбрасывании одной только цифры, считая все возможные

значения этой цифры равновероятными, т. е. встречающимися (при

большом числе округлений) одинаково часто. Следовательно, равно-

вероятны следующие значения погрешности округления (в единицах

разряда последней цифры)

0,5• —0,4; —0 з —0,2; —0,1; 0,0; од;

0,2; 0,3; 0,4; 0,5.

Всего здесь 11 значений погрешностей. ВОЗЬМёМ их квадраты,

найдём сумму этих квадратов, разделим сумму на 11 и извлечём из

частного квадратный корень. Это и даст искомую среднюю квадра-

тическую погрешность округления, равную

2

(0,25 0,16 + 0,09 + 0,04 + 0,01) —

п

N0,316.

Если округление состоит в отбрасывании не одной, а двух

цифр, то будем иметь уже не 11, а 101 значение погрепшости

(от —0,50 до 0,50), и средняя квадратическая погрешность округ-

лении оказывается равной 0,292. При её вычислении, во избежание

сложения длинного ряда чисел, можно воспојњзоваться формулой

12-4-22 + 32-[- -{-п2—

6

Если, наконец, округление состоит в отбрасывании бесконечной

последовательности цифр, то, как показывает расчёт, основанный

на переходе к пределу или на применении интегрального исчисле-

ния, средняя квадратическая погрешность округления оказывается

равной числу (3:

Чтобы использовать принцип А. Н. Крылова в приведённой выше

второй его формулировке для вывода правил действий над прибли-

Жёнными числами, надо найти средние квадратические погрешности

результатов отдельных действий. Покажем, как вычисляется сред-

няя квадратическая погрешность суммы п приближённых слагаемых,

каждое из которых является результатом округления некоторого

точного числа до К-го десятичного знака.

Пусть дано приближенное значение а, имеющее точных деся-

тичных знаков; будем его рассматривать как результат округления

числа Xi, имеющего гп>/е десятичных знаков, причём возможны

всего 1 От -4-1—1 различных значений Xi, которые можно счи-

тать равновероятными. Если, например, 74,62; К то