— 70 —

12 делит 48, а также и 12, потому что 48=12X4 и 12 Ц
12 X Поэтому 1,2 будет о. н. д. данных чисел 48 и 12.

Теорема II.—Если даны два числа, не делящиеся одна
на .д]^іое, то о. н. д, их равен о. н. д. меньшего из чисел и-
остатка от деления большего из чисел на меньшее.

Пусть даны числа 516 и 48. Мы можем написать, что

516 = 48X 10 + 36.

ч

Требуется доказать, что о. н. д. чисел 516 и 48 равен
о. н. д. 48 и 36.

Чтобы доказать это, покажем прежде всего, что всякий
делитель, общий для чисел 516 и 48, есть в то же время
общий делитель чисел 48 и 36 и обратно. Действительно,.
516 и 48 делятся на 2; 48X1^ также делится на 2; а так
как 516 и 48'X 10 делятся на 2, то на то же число должно
делиться и число 36 (теорема II Ьіз, стр. 58); подобным же
образом,; если числа 36 и 48 делятся на 6, то на то же
число делится и произведение 48X10, а следовательно, и
сумма чисел 48X10 и 36, т.-е. данное число 516.

Таким образом, общие делители чисел 516 и 48 сове]^-
шенно те же, что и общие делители чисел 48 и 36; поэто¬
му, если мы составим две таблицы, при чем в одну из них
запишем общие делители чисел 516 и 48, а в другую—общие
делцтели чисел 48 и 36, то обе таблицы будут содержать
в себе одни и те же числа; наибольшее из чисел одной
таблицы будет наибольшим числом и для другой таблицы;
друг,ими словами, о. н. д. 516 и 48 равен о. н. д. 48 и 36,
что и требовалось доказать.

Эти две теоремы позволяют установить следующее прак¬
тическое

Правило.—Чтобы найти о. п, д. двух чисел, надо разде-
лцть большее число на меньшее; если деление это выпол¬
няется без остатка, то о, н. д. 'равен меньшеМу из данных
чисел; если же получается остаток, то приходится отыски¬
вать о. н. д. меньшего из чисел и полученного остатка; для
этою указанное число делят на остаток; если деление вы¬
полняется точно, то этот остаток и есть о. н, д,; если
же деление приводит к новому остатку, то приходится
отыскивать о. н. д. этого второго остатка, т,-е. остатка
от второго деления, и делителя этого второго деления, т.-е