/

— 81 —

пое число, большее, первого, затем третье первоначальное
число, большее второго, четвертое первоначальное число,
большее третьего, и т. д. до бесконечности.

Таким образом, чтобы доказать бесконечность ряда перво¬
начальных чисел, достаточно доказать существование перво¬
начального числа, большего любого данного первоначаль¬
ного числа, например, 11; доказательство это должно, однако,
опираться на такие общие рассуждения, которые можно
было бы применить без всяких изменений к любому друюму
первоначальному чие^у. Это замечание совершенно необхо¬
димо для ясного понимания смысла изложенного предло¬
жения.

Хотя доказательство этой теоремы и не входит в про¬
грамму, все же мы приведем его здесь, так как оно очень
просто.

Итак, докажем, что первоначальное число, большее 11,
действительно существует. Для этого образуем произве¬
дение

2X3X5X7X11 = 2310,

т.-е. произведение первоначальных чисел от 2 до 11 вклю¬
чительно, и прибавим к этому произведению 1. Мы полу¬
чим тогда' 2 311; если мы разделим теперь 2 311 на 3, на¬
пример, то в частном мы получим 2X5X7X11,ав остатке
], так как

2311=(2Х5Х7Х11) 3 + 1.

Таким образом, 2 311 не делится на 3; то же самое рас¬
суждение покажет нам, что оно не делится ни на одно из
чисел 2, 5, 7, 11. Поэтому число 2 311 будет или первона¬
чальным, или содержащим первоначального делителя, боль¬
шего 11; но как в том, так и в другом случае мы получим
первоначальное число, большее 11, что и требовалось доказать.

ІІ. Разложение чисел на первоначальных множителей.

47. Разложение числа на первоначальных множите¬
лей.— Наиболее важным элементарным приложением теории
первоначальных чисел является разложение чисел на перво¬
начальных мнооюителей. Разложить число на первоначаль¬
ных множителей значит найти такое произведение перво-

Э. Борель. Арифметика, б