48. Основная теореиа. — Всякое число может быть раз-'
ложено только на одно определенное произведение пер&о-
начальных сомножителей. ,

Это предложение придает особенное значение перво¬
начальным числам и служит главным основанием их
практического применения. Предложение это можно вы¬
разить, нисколько не изменяя его смысла, в следующеіг
форме:

Другое выражение основной теоремы.—Для равенстве^
двух произведений, состоящих из первоначальных множите¬
лей, необходимо, чтобы множители обоих произведений, Ог
равно и показатели степени этих сомножителей, были бы
попарно равны. Очевидно, что это условие не только необхо¬
димо, но и достаточно. Мы можем поэтому сказать, что два-'
произведения, состоящие из первоначальных множителей,
могут быть равны между собой только в том случае, если
они тождественны.

Мы не будем доказывать основной теоремы; ученики;
легко убедятся в справедливости ее, проделав разложение-
на первоначальных множителей нескольких чисел и заме¬
тив, что для одного и того 'же числа невозможно найти;
двзгх различных результатов разложения.

Небесполезно, может быть, отметить, что теорема эта вы¬
ражает характерное свойство произведений первоначальных
множителей; действительно, произведения непервоначальных-
множителей могут быть равными и не будучи тождествен¬
ными. Так, например,

2X6 = 3X4,

где числа 6 и 4 не суть первоначальные.

49. Приложение к делимости. — Правило. — Ьсли дан¬
ные числа представляют собою произведения первоначальных
множителей, то произведение ьтих чисел равно произведению
всех их первоначальных множителей’, это произведение на¬
ходится так: выписав всех различных первоначальных' мно¬
жителей, входящих в данные произведения, пишут при
каждом из них показателя степени, равного сумме тех по¬
казателей степени данною множителя, с гюторыми' он вхо¬
дит в данные произведения.