— 72 —

чтв о. н. д. данных чисел также делится на 2. Поэтому, мы
можем установить следующую теоремз^ непосредственно
вытекающую из самого способа нахождения о. н. д.:

Теорема III.—Если два числа делятся на третье число,
то на то же число делится и их о. н. д. ^

Рассуждая, как выше, легко установить еще однз'- тео¬
рему:

Теорема IV. — Если два данные числа умножить или
ралделить на какое-либо третье число, то на то же число
умножится или разделится и их о. н. д.

Эту теорему можно выразить несколько иначе, .подобно
тому, как мы сделали это в предыдущей главе с теоремами
I и II, стр. 47 и 4в, совершенно сходными с данной. Действи¬
тельно, данную теорему можно формулировать так: если
мы рассмотрим, с одной стороны, два числа и их о. н. д., а
с другой стороны — два другие числа и их о. н. д., при чем
эти вторые числа будут соответственно равны первым 4ис-
лам, умноясенным на одно и то же число, то мы найдем,
что о. н. д. вторых чисел равен о. н. д. первых чисел, умно¬
женному на то же число.

Так, например, мы нашли, что о. н. д. 12 012 и 4 152
равен 12; о. н. д. 120120 и 41520 будет равен 120, а о.н.д-
12 012 : 12 = 1 001 и 4 152 : 12 = 346 будет равен 1. Чтобы
доказать эту теорему, достаточно обратиться к таблице по¬
следовательных делений и заметить, что, начиная деление
с 2 чисел, хотя бы в 10 раз больших, чем первые, мы бу¬
дем получать и остатки в 10 раз большие; частные же оста¬
нутся без изменения; а так как о. н. д. есть не что иное,
как последний остаток, отличный от О, то он также будет
в 10 раз больше.

В том частном случае, когда данные числа делятся на
их 0. н. д., полуненные частные имеют о. н. д. единицу,
т.-е. сз^ть числа, первые между собой.

Теорема V.— Частные от деления двух чисел наш о. н. д.
суть числа, первые между собой.

41. О. н. д. нескольких чисел.—Определение.— О. н. д.
нескольких данных чисел называется то наибольшее число,
на которое могут разделиться без остатка все данные числа-,
дрзтими словами, о. н. д. есть наибольший из всех общих
делителей данных чисел.