— 59 —

Пусть надо 41.39. Тогда мы можем это представить в виде
•(40-(-I) (40—1) й свести дело к первому равенству — получим
40 2 — 1 или 1600 — 1 = 1599. Благодаря этому, легко выполнять
в уме умножения вроде 21.19 ; 22.18; 31 . 29; 32. 28; 71 . 69
и т. д.'

Пусть надо 4 1 . 4 1 ; это все равно, что 41 2 или ( 4 0 + 1 ) 2 =
=1600 + 80 + 1 = 1681.Также 35 . 35 = 35 2 = (30 + 5) 2 = 900 +
+ 3 0 0 + 25= : 1225. Если надо 37.37, то это равно (40 — 3)* =
= 1600 — 240 + 9 = 1369. Подобные умножения (или возведение
в квадрат двузначных чисел) легко выполнять, при некотором
навыке, в уме.

32. В о з в е д е н и е м н о г о ч л е н о в в* к у б . Станем опять
сначала на точку зрения арифметики и рассмотрим возведение в
куб суммы и разности двух чисел. Получим:
1) ( о + Ъ)8 = (а + ЪУ. (а + Ь) = (а 2 + 2ab + Ь2) . (а + Ь) = а 8 +

+ 2а 2Ь + аЪ2 + а2Ъ + 2аЬ 2 + & = а 8 + За 2Ь + Sab2 + Ь 3
2) \ а — bf = (а — б) 2 .(а — Ъ)=(а2 — 2аЪ+Ъ2) (а — &) = а 8 —

— 2а 2Ь + ab2 — а2Ъ + 2аЫ — b* = a* — За2Ь + ЗаЬ 2 —б 8

Итак:

1) (а + Ь) 8 = а 8 + За2Ь + ЗаЬ 2 + Ь 3

2) (a — b f = a 3 —3a 2 b + 3ab 2 — Ь 8

Словами эти равенства читаются так:

1) К у б с у м м ы д в у х ч и с е л р а в н я е т с я к у б у п е р в о г о ч и с л а , п л ю с п р о и з в е д е н и е т р о й к и н а к в а д р а т
п е р в о г о ч и с л а и н а в т о р о е ч и с л о , п л ю с п р о и з в е д е н и е т р о й к и н а п е р в о е ч и с л о и н а к в а д р а т в т о р о г о ч и с л а , п л ю с к у б в т о р о г о ч и с л а .

2) К у б р а з н о с т и д в у х ч и с е л р а в е н к у б у п е р в о г о
ч и с л а , м и н у с п р о и з в е д е н и е т р о й к и н а к в а д р а т п е р в о г о ч и с л а и н а в т о р о е , п л ю с п р о и з в е д е н и е т р о й к и
н а п е р в о е ч и с л о и н а к в а д р а т в т о р о г о , м и н у с к у б
в т о р о г о ч и с л а .

Теперь мы можем сразу написать, что, например,

(2а + ЗЬ)8 = 8а 8 + 36а2& + 54а£ 2 + 27b8

( а з 1)3 — & _ З а 4 + Зд2 — 1

(2а 36 — За) 3 = ва^Ь2 — 36а 7Ь 2 + 54а5г> — 27аз