Угол А содержит а угловых градусов, поэтому uBCD содер-

жит 2а дуговых градусов; дуга же DAB содержит (360—2а)

дуговых градусов. Но угол С опирается на дугу DAB, кроме

3600—2ао

того он вписанный, поэтому он равен

= 1800—е. Та.

2

ким же образом определяется и угол D; он равен 1800—b0.

Итак:

LA=a0,

LB=b0, 1800—ьо.

Сложив почленно раньше первые два равенства, потом вто-

рые два, получаем:

L А + + 1800;

LB+ 1800.

Четыреугольник ABCD, вписанный в окружность, взят совер-

шенно произвольно, поэтому последние два равенства верны для

всякого вписанного четыреугольника, и мы имеем следующее

свойство: во всяком вписанном четыреугольнике сумма противо-

полозюных углов равна 1800 (шли 2d).

Справедливо и обратное предположение, именно:- если сумма

противоположных углов в четыреугольнике равна 1800 (или 2d),

то около такого четыреугольншса можно описать окружность.

5. Описать окружность около а) прямоугольника, б) равно,бедренной

трапеции.

6. Почему нельзя описать окружности около ромба? параллело•

грама ?

7. Около разностороннего треугольника описана окружность. К какой

стороне ее центр ближе всего: к наибольшей и.ли к наименьшей ?

8. Треугольник, вписанный в окружность, делит ее на части, относя-

щиеся друг к другу как 4 : 5 : З. Определить углы треугольника.

9. Около треугольника описана окружность. Большая ее дуга бо.льше

средней на 1000, а меньшей — на 1400. Определить углы треугольника.

10. Доказать, что центр круга, описанного около прямоугольного тре-

угольника, находится в середине гипотенузы.

11. Стороны треугольника 6 м, 8 м и 8 м. Где находится центр

круга, описанного около этого треуго.льника: внутри или вне его?

12. Стороны треугольника б см, 8 см и 10 см. Где находится центр

круга, описанного около этого треугольника: внутри или вне его, или

на стороне ?

13. Катеты прямоугольного треугольника 28 см и 42 см. Вычислить

радиус круга, около него описанного.

В прямоугольном треугольнике один из острых углов 380. Длина

описанной окружности 175 см. Вычислить его стороны.

15. В треугольнике АВС сторона АВ = 3,15 м, угол С 230. Опре-

делить радиус описанного круга.

Указа н и е. Щровестн через В диаметр и второй конец его D соеди-

нить с А. Рассмотреть треугольник ABD.

16. Определить радиус круга, описанного около равностороннего тре-

угольника, сторона которого равна а.