В общем виде, если правильный многоугольник имеет п сторон,

то центральный угол АОВ (черт. 82), опирающийся на одну его

3600

сторону АВ, равен

3600

1800

а угол ВОС

Обозначая длину каждой стороны многоугольника через ап, имеем:

отсюда

1800

— — R sin

2

1800

ап— 2R sin

ЗаДача. Вычислить сторону правильного вписанного в круг девяти-

угольника, десятиугольника, пятнадцатиугольника.

Перпендикуляр, опущенный из центра на сторону правильного

многоугольника, называется апофемой данного многоугольника.

Будем ее обозначать Кп.

Вычислим апофему правильного треугольника.

На черт. 79 апофема правильного треугольника —0D. Выше

было показано, что она равна половине радиуса, следовательно ,

Вычислим апофему правильного пятиугольника.

На черт. 81 апофема правильного пятиугольника —ОС. Она

равна ов. cos 360 = R cos 0,602R.

Решим эту задачу в общем виде.

Пусть АВ есть сторона правильного многоугольника, имею-

800

щего п сторон. Его апофема ОС=ОВ• cos BOC=R • cos

Следовательно

1800

= R • cos—

Задача. Вычислнть апофему правильного шестиугольника, восьми-

угольника и десятиугольника.

Площадь правильного многоугольника.

Вычислим площадь правильного шестиугольника, зная вели-

чину радиуса описанного около него круга.

Радиусами, проведенными к его вершинам, он разбивается

на шесть равных треугольников. Площадь одного из них, напри-

мер треугольника АОВ (черт. 89), равна

а площадь

2

всего многоугольника 6 • 6