окружности, вписанные и описанные около правильных

многоугольников.

Покажем, - что каков бы ни был правильный многоугольник,

можно около него описать окружность и в него вписать окруж-

ность.

В самом деле, проведем окружность через три смежные вер-

шины А, В и С (черт. 87) данного правильного многоугольника.

Пройдет ли она через четвертую вершину D? Чтобы это иссле-

довать, из ее центра опущен перпендикуляр ОМ на сторону ВС.

Этот перпендикуляр разделит ВС в, точке М пополам. Будем

вращать четыреугольник ОМВА вокруг стороны ОМ до тех пор,

пока он не ляжет на четыреугольник OMCD. Тогда МВ совпа-

дает с МС, сторона ВА пойдет по стороне CD (так как углы В

и С равны), при этом точка А совпадет с точкой D (так как

ВА =CD). Вследствие этого радиус ОА совпадет с линией 0D;

значит ОА 0D. Поэтому окружность, проходящая через вер-

«с

м,

Черт. 87.

Черт. 88.

шины А, В и С, непременно пройдет через вершину D. Также

можно убедиться, что она пройдет и через остальные вершины.

Таким образом около всякого правильного многоугольника можно

описать окружность.

Теперь нетрудно показать, что во всякий правильный много-

угольник ложно вписать окружность. Пусть около данного пра-

вильного многоугольника опнсана окружность (черт. 88). Из центра

ее опущены перпендикуляры на стороны. Эти перпендикуляры

равны (почему?). Если одним из этих перпендикуляров, как

радиусом, описать окружность, приняв О за центр, то она будет

касаться всех сторон многоугольннка. Такнм образом центры

описанной и вписанной окружностей совпадают. Этот центр назы-

вается центром правильного многоугольника. Как его найти ?

Раднусы описанной окружности, проведенные через вершины

многоугольника, делят углы ero пополам, в чем легко убедиться

из равенства бреугольников АОВ и АОС (почему они равны?).

Поэтому для построения центра многоугольника достаточно про-

вести биссектрисы двух смежных углов его: точка их пересече-

ния и есть искомый центр.

111